函数与极限

1、函数的有界性在界说域内有f(x)≥K1则函数f(x)在界说域上有下界，K1为下界;假如有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在界说域内有界的充沛必要条件是在界说域内既有上界又有下界。

2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能一起收敛于两个不同的极限。

定理(收敛数列的有界性)假如数列{xn}收敛，那么数列{xn}必定有界。

假如数列{xn}无界，那么数列{xn}必定发散;但假如数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}必定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界可是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充沛条件。

定理(收敛数列与其子数列的联系)假如数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.假如数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的;一起一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3、函数的极限函数极限的界说

定理(极限的部分保号性)假如lim(x→x0)时f(x)=A，而且A0(或A0(或f(x)0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充沛必要条件是左极限右极限各自存在而且持平，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不持平则limf(x)不存在。

一般的说，假如lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。假如lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线。

4、极限运算规律定理：有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理假如F1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b.

5、极限存在原则：两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼原则假如数列{xn}、{yn}、{zn}满意下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，关于函数该原则也成立。

单调有界数列必有极限。