中值定理与导数的使用(一)

1、定理(罗尔定理)

假如函数f(x)在闭区间[a，b]上接连，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至罕见一点ξ(a

2、定理(拉格朗日中值定理)

假如函数f(x)在闭区间[a，b]上接连，在开区间(a，b)内可导，那么在开区间(a，b)内至罕见一点ξ(a

3、定理(柯西中值定理)

假如函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上接连，在开区间(a，b)内可导，且F’(x)在(a，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a，b)内至罕见一点ξ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立。

4、洛必达法则使用条件只能用与未定型诸如0/0、∞/∞、0×∞、∞-∞、00、1∞、∞0等形式。

5、函数单调性的判定法

设函数f(x)在闭区间[a，b]上接连，在开区间(a，b)内可导，那么：(1)假如在(a，b)内f’(x)0，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加;(2)假如在(a，b)内f’(x)

假如函数在界说区间上接连，除去有限个导数不存在的点外导数存在且接连，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来区分函数f(x)的界说区间，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。